Phần 1: Cấu trúc dữ liệu
0. Cấu trúc dữ liệu cơ bản

Khái niệm về dữ liệu và cấu trúc dữ liệu
Dữ liệu: Dữ liệu là thông tin biểu diễn các giá trị, sự kiện, hoặc thực thể từ thế giới thực có thể được lưu trữ và xử lý trong máy tính.
Cấu trúc dữ liệu: Cấu trúc dữ liệu là một phương tiện cơ bản để tổ chức và lưu trữ dữ liệu một cách hiệu quả, cung cấp cách thức truy cập và xử lý dữ liệu một cách linh hoạt và hiệu quả.

Khái niệm về các dạng dữ liệu và cấu trúc dữ liệu cơ bản
Dạng Array: Một tập hợp các phần tử cùng loại được lưu trữ trong một khối liên tục của bộ nhớ và có thể được truy cập thông qua chỉ số.
Dạng Linked List: Một tập hợp các nút, mỗi nút chứa dữ liệu và một con trỏ đến nút tiếp theo, tạo thành một chuỗi liên kết.
Dạng Tree: Một cấu trúc phân cấp được tổ chức theo hình thức cây, mỗi nút có thể có nhiều nút con.
Dạng Key-Value: Một cấu trúc dữ liệu lưu trữ dữ liệu dưới dạng cặp key-value, mỗi key có thể tương ứng với một giá trị duy nhất.
Dạng Stack - Queue: Dạng cấu trúc dữ liệu dựa trên nguyên lý "Last In First Out" (LIFO) cho Stack và "First In First Out" (FIFO) cho Queue.

Ứng dụng của các dạng CTDL trong thực tế
Array: Lưu trữ dữ liệu danh sách sinh viên trong một lớp học, quản lý điểm số, xử lý hình ảnh.
Linked List: Quản lý danh sách liên kết các trang web, tạo ra danh sách hàng đợi cho dịch vụ xử lý giao dịch.
Tree: Lưu trữ cấu trúc thư mục trên hệ thống tập tin, tổ chức dữ liệu trong cơ sở dữ liệu, tạo cây phân cấp cho danh mục sản phẩm trên trang web mua sắm.
Key-Value: Lưu trữ thông tin người dùng trong cơ sở dữ liệu, quản lý cấu hình ứng dụng.
Stack - Queue: Quản lý lịch trình thực hiện các công việc trong hệ thống, xử lý trình tự thực thi của các tác vụ.

1. Cấu trúc dữ liệu dạng Array

Khái niệm về cấu trúc dữ liệu dạng Array
Array là một cấu trúc dữ liệu lưu trữ tập hợp các phần tử cùng loại dữ liệu trong một khối liên tục của bộ nhớ, được xác định bởi một tên và một chỉ số hoặc vị trí duy nhất.

Phân biệt giữa Mảng tĩnh (Static Array) và Mảng động (Dynamic Array)
Mảng tĩnh: Có kích thước cố định mà không thể thay đổi sau khi được khai báo.
Mảng động: Có khả năng thay đổi kích thước trong quá trình chương trình thực thi.

Các thành phần trong mảng
Index: Chỉ số hoặc vị trí của mỗi phần tử trong mảng.
Element: Các giá trị được lưu trữ trong mảng.
Size: Số lượng phần tử trong mảng.

Cách truy cập phần tử trong mảng
Phần tử trong mảng có thể truy cập thông qua chỉ số hoặc vị trí của nó trong mảng.
Cú pháp: array[index].

Cách thêm/sửa/xoá phần tử trong mảng
Thêm phần tử:
Thêm vào cuối mảng (nếu là mảng động).
Sửa phần tử:
Gán giá trị mới cho phần tử tại một chỉ số cụ thể.
Xoá phần tử:
Xoá phần tử từ một vị trí cụ thể trong mảng (nếu là mảng động).
Cần dịch chuyển các phần tử sau vị trí bị xoá để điền vào khoảng trống.

Ưu/Nhược điểm trong việc truy cập phần tử trong mảng
Ưu điểm:
Truy cập phần tử với độ phức tạp thời gian O(1) (trong trường hợp truy cập theo chỉ số).
Nhược điểm:
Không linh hoạt trong việc thay đổi kích thước.
Truy cập ngẫu nhiên có thể mất thời gian O(n) (trong trường hợp truy cập không theo chỉ số).

Ưu/Nhược điểm trong việc thêm sửa xoá phần tử trong mảng
Ưu điểm:
Thao tác thêm/sửa/xoá ở cuối mảng có độ phức tạp thời gian O(1) (cho mảng động).
Nhược điểm:
Thêm/sửa/xoá ở vị trí bất kỳ có thể mất thời gian O(n) (phải dịch chuyển các phần tử).
Cần phải quản lý kích thước mảng một cách cẩn thận để tránh tràn bộ nhớ hoặc lãng phí không gian.

3. Cấu trúc dữ liệu dạng Linked List

Khái niệm về cấu trúc dữ liệu dạng Linked List
Linked List là một cấu trúc dữ liệu tập hợp các nút (node), mỗi nút liên kết với nút tiếp theo trong danh sách bằng cách sử dụng con trỏ.
Mỗi nút trong Linked List bao gồm dữ liệu và một con trỏ (thường được gọi là next pointer) trỏ đến nút tiếp theo trong danh sách.

Loại Linked List
Singly Linked List (Danh sách liên kết đơn): Mỗi nút chỉ chứa một con trỏ trỏ đến nút tiếp theo trong danh sách.
Doubly Linked List (Danh sách liên kết kép): Mỗi nút chứa hai con trỏ, một con trỏ trỏ đến nút trước đó và một con trỏ trỏ đến nút tiếp theo trong danh sách.
Circular Linked List (Danh sách liên kết vòng): Danh sách liên kết trong đó mỗi nút trỏ đến nút tiếp theo của nó và nút cuối cùng trỏ đến nút đầu tiên.

Các thao tác cơ bản trên Linked List
Thêm phần tử vào Linked List:
Thêm vào đầu danh sách (insert at beginning).
Thêm vào cuối danh sách (insert at end).
Thêm vào sau một nút cụ thể (insert after a specific node).
Xóa phần tử khỏi Linked List:
Xóa đầu danh sách (delete from beginning).
Xóa cuối danh sách (delete from end).
Xóa một phần tử cụ thể (delete a specific node).
Tìm kiếm phần tử trong Linked List.
Truy cập phần tử trong Linked List:
Truy cập bằng chỉ số (index) trong một danh sách liên kết đơn có thể phức tạp hơn so với mảng, vì cần phải duyệt từ đầu đến vị trí cần truy cập.
Sửa đổi phần tử trong Linked List.

Ưu/Nhược điểm của Linked List
Ưu điểm:
Linh hoạt trong việc thêm/xóa phần tử.
Chi phí cố định cho việc thêm/xóa ở đầu hoặc cuối danh sách.
Có thể mở rộng kích thước một cách linh hoạt.
Nhược điểm:
Truy cập ngẫu nhiên chậm hơn so với mảng.
Cần bộ nhớ phụ để lưu trữ con trỏ.
Phần tử không được lưu trữ theo cách liên tục trong bộ nhớ.

4. Cấu trúc dữ liệu dạng Tree

Khái niệm về cấu trúc dữ liệu dạng Tree
Tree là một cấu trúc dữ liệu phân cấp tổ chức dưới dạng cây, trong đó mỗi nút có thể có một hoặc nhiều nút con, và chỉ có một nút gốc (root) không có nút cha.

Loại Tree
Binary Tree (Cây nhị phân): Mỗi nút có tối đa hai nút con, được gọi là nút con trái và nút con phải.
Binary Search Tree (Cây tìm kiếm nhị phân): Một loại cây nhị phân trong đó các nút được tổ chức theo thứ tự sao cho mọi nút con trái của một nút có giá trị nhỏ hơn giá trị của nút đó, và mọi nút con phải có giá trị lớn hơn.
Balanced Tree (Cây cân bằng): Một loại cây mà độ sâu của tất cả các nhánh không chênh lệch quá nhiều, giúp đảm bảo thời gian tìm kiếm cố định.
Binary Heap (Cây heap nhị phân): Một cây nhị phân được sử dụng để triển khai các cấu trúc dữ liệu như priority queue, trong đó mỗi nút cha có giá trị lớn hơn hoặc bằng giá trị của các nút con.
N-ary Tree (Cây n-nhánh): Mỗi nút có thể có nhiều hơn hai nút con.

Các thao tác cơ bản trên Tree
Thêm một nút vào Tree: Thêm một nút mới vào cây, đặt nút này ở vị trí phù hợp tùy thuộc vào quy tắc của loại cây.
Xóa một nút khỏi Tree: Xóa một nút khỏi cây và điều chỉnh cấu trúc cây nếu cần thiết để duy trì tính chất của cây.
Tìm kiếm một nút trong Tree: Tìm kiếm một nút có giá trị nhất định trong cây.
Duyệt (Traversal) Tree: Duyệt qua tất cả các nút trong cây theo một thứ tự nhất định, bao gồm các phương pháp như Pre-order, In-order và Post-order traversal.

Ứng dụng của Tree trong thực tế
Cấu trúc dữ liệu trong cơ sở dữ liệu: Cây được sử dụng để tổ chức dữ liệu trong các cơ sở dữ liệu phân cấp như cây genealogical (tổ tiên) hoặc cây hệ thống tập tin.
Biểu diễn các mô hình hệ thống phân cấp: Cây được sử dụng để biểu diễn các mô hình phân cấp như cây trình tự công việc, cây sản phẩm, cây tổ chức công ty.
Tìm kiếm và sắp xếp dữ liệu: Cây tìm kiếm nhị phân được sử dụng trong tìm kiếm và sắp xếp dữ liệu một cách hiệu quả.
Xử lý ngôn ngữ tự nhiên và dữ liệu cây phân tích cú pháp: Cây được sử dụng để biểu diễn cấu trúc của các văn bản và các cú pháp trong xử lý ngôn ngữ tự nhiên và dữ liệu cây phân tích cú pháp.

5. Cấu trúc dữ liệu dạng Key-Value (Map)

Khái niệm về cấu trúc dữ liệu dạng Key-Value (Map)
Cấu trúc dữ liệu dạng Key-Value, hay còn gọi là Map, là một cấu trúc dữ liệu lưu trữ các cặp key-value, trong đó mỗi key có thể được sử dụng để truy xuất một giá trị duy nhất.

Các đặc điểm chính của Map
Mỗi key trong Map phải là duy nhất.
Các phần tử trong Map không được xếp theo thứ tự nhất định.
Có thể thêm, sửa đổi và xoá các phần tử trong Map.

Loại Map phổ biến
HashMap: Sử dụng bảng băm để lưu trữ các cặp key-value. Đây là loại Map phổ biến nhất với thời gian truy cập và thêm/xoá là O(1) trong trường hợp tốt nhất.
TreeMap: Sử dụng cấu trúc cây để lưu trữ các cặp key-value, được sắp xếp theo thứ tự của các key. Thời gian truy cập, thêm/xoá là O(log n).
LinkedHashMap: Kết hợp hai tính chất của HashMap và LinkedList, lưu trữ theo thứ tự thêm vào và hỗ trợ việc duyệt theo thứ tự.
HashTable: Tương tự như HashMap, nhưng các phương thức của nó được đồng bộ hóa, là một phiên bản an toàn cho các luồng (thread-safe).

Các thao tác cơ bản trên Map
Thêm một cặp key-value vào Map: Thêm một cặp key-value mới vào Map.
Truy xuất giá trị bằng key: Sử dụng key để truy xuất giá trị tương ứng trong Map.
Sửa đổi giá trị của một key: Thay đổi giá trị của một key trong Map.
Xoá một cặp key-value từ Map: Xoá một cặp key-value khỏi Map.

Ứng dụng của Map trong thực tế
Quản lý dữ liệu người dùng: Lưu trữ thông tin người dùng như tên, địa chỉ, email trong một Map với key là ID người dùng.
Bản đồ (Map) trong hệ thống định vị: Sử dụng cặp key-value để biểu diễn các điểm địa lý và thông tin chi tiết tương ứng.
Quản lý cấu hình ứng dụng: Lưu trữ các cặp key-value để quản lý các cài đặt và cấu hình của ứng dụng.
Đếm và phân loại dữ liệu: Đếm số lượng các mục xuất hiện trong một tập hợp hoặc phân loại dữ liệu theo các tiêu chí khác nhau.

6. Cấu trúc dữ liệu dạng Stack - Queue

Khái niệm về cấu trúc dữ liệu dạng Stack và Queue
Stack (Ngăn xếp): Là một cấu trúc dữ liệu hoạt động theo nguyên lý "Last In, First Out" (LIFO), nghĩa là phần tử cuối cùng được thêm vào sẽ là phần tử đầu tiên được lấy ra.
Queue (Hàng đợi): Là một cấu trúc dữ liệu hoạt động theo nguyên lý "First In, First Out" (FIFO), nghĩa là phần tử đầu tiên được thêm vào sẽ là phần tử đầu tiên được lấy ra.

Các thao tác cơ bản trên Stack
Push: Thêm một phần tử vào đỉnh của ngăn xếp.
Pop: Loại bỏ và trả về phần tử ở đỉnh của ngăn xếp.
Peek (Top): Trả về giá trị của phần tử ở đỉnh của ngăn xếp mà không loại bỏ nó.
isEmpty: Kiểm tra xem ngăn xếp có trống không hay không.

Các thao tác cơ bản trên Queue
Enqueue: Thêm một phần tử vào cuối hàng đợi.
Dequeue: Loại bỏ và trả về phần tử ở đầu hàng đợi.
Front (Peek): Trả về giá trị của phần tử ở đầu hàng đợi mà không loại bỏ nó.
isEmpty: Kiểm tra xem hàng đợi có trống không hay không.

Ứng dụng của Stack và Queue trong thực tế
Stack:
Quản lý lịch trình thực thi các hàm trong chương trình (hàm gọi, trả về).
Kiểm tra cú pháp của biểu thức toán học (ví dụ: dấu ngoặc đơn, dấu ngoặc vuông).
Undo/Redo trong các ứng dụng chỉnh sửa văn bản hoặc đồ họa.
Queue:
Quản lý các công việc trong hệ thống hàng đợi (ví dụ: hàng đợi giao dịch ngân hàng, hàng đợi xử lý công việc).
Phân phối tài nguyên (ví dụ: phân phối tài nguyên mạng, phân phối công việc giữa các máy chủ).
Thực hiện BFS (Breadth-First Search) trong các thuật toán tìm kiếm và duyệt đồ thị.

Phần 2: Giải thuật
7. Khái niệm về Giải thuật cơ bản

Giải thuật là gì?
Trong lập trình và khoa học máy tính, giải thuật là một bước-by-bước quy trình hoặc phương pháp được sử dụng để giải quyết một vấn đề cụ thể.

Đặc điểm của một giải thuật
Rõ ràng và định rõ: Mỗi bước trong giải thuật phải được mô tả một cách rõ ràng và định rõ.
Có tính khả thi: Giải thuật phải có thể thực hiện trong một số bước hữu hạn và được thực hiện bởi một máy tính hoặc một con người.
Hiệu quả: Giải thuật phải giải quyết vấn đề một cách hiệu quả với ít tài nguyên nhất có thể, bao gồm thời gian và không gian bộ nhớ.
Đúng đắn: Giải thuật phải đưa ra kết quả chính xác cho mọi trường hợp đầu vào hợp lệ.

Các loại giải thuật cơ bản
Dò tìm và liệt kê: Thuật toán dò tìm và liệt kê các giải pháp có thể có cho một vấn đề.
Sắp xếp và tìm kiếm: Thuật toán sắp xếp các phần tử hoặc tìm kiếm phần tử trong một tập hợp dữ liệu.
Quy hoạch động: Thuật toán dựa trên việc chia bài toán thành các bài toán nhỏ hơn và lưu trữ các kết quả trung gian để giảm thiểu việc tính toán lặp đi lặp lại.
Tham lam (Greedy): Thuật toán lựa chọn lựa chọn tốt nhất hiện tại mà không cần xem xét tương lai.
Chia để trị: Thuật toán chia bài toán thành các phần nhỏ hơn, giải quyết từng phần đó, sau đó kết hợp các kết quả.

Ứng dụng của giải thuật trong thực tế
Tìm kiếm và sắp xếp dữ liệu: Tìm kiếm phần tử trong một danh sách hoặc sắp xếp các phần tử theo thứ tự.
Mã hóa và giải mã: Mã hóa dữ liệu để bảo mật và giải mã dữ liệu đã được mã hóa.
Quản lý tài nguyên và lập lịch: Quản lý tài nguyên trong một hệ thống và lập lịch các công việc.

8. Giải thuật dò tìm và liệt kêÏ

Giải thuật dò tìm và liệt kê là gì?
Giải thuật dò tìm và liệt kê là một phương pháp giải quyết vấn đề bằng cách thử từng khả năng một và liệt kê hoặc kiểm tra từng phần tử một cho đến khi tìm ra giải pháp mong muốn.

Ứng dụng của giải thuật này trong sắp xếp và tìm kiếm

Sắp xếp: Trong sắp xếp, giải thuật dò tìm và liệt kê thường được sử dụng khi không có một cấu trúc rõ ràng nào có thể tận dụng được để sắp xếp các phần tử. Thay vào đó, nó sẽ kiểm tra và so sánh các phần tử với nhau, và di chuyển chúng cho đến khi chúng được sắp xếp đúng vị trí.

Tìm kiếm: Trong tìm kiếm, giải thuật này được sử dụng để duyệt qua tất cả các phần tử trong một tập hợp và kiểm tra xem có phần tử nào thỏa mãn điều kiện được yêu cầu không. Nếu có, nó sẽ trả về kết quả, nếu không, nó sẽ tiếp tục duyệt qua các phần tử khác cho đến khi duyệt hết tất cả các phần tử.

Ưu điểm và nhược điểm của giải thuật dò tìm và liệt kê
Ưu điểm:
Đơn giản và dễ hiểu.
Thích hợp cho các tập dữ liệu nhỏ.
Không yêu cầu một cấu trúc dữ liệu phức tạp.
Nhược điểm:
Hiệu suất kém đối với các tập dữ liệu lớn.
Thời gian thực thi tăng theo cấp số nhân với kích thước của tập dữ liệu.
Không hiệu quả khi cần tìm kiếm hoặc sắp xếp các tập dữ liệu lớn.

Ví dụ về ứng dụng trong sắp xếp và tìm kiếm
Sắp xếp: Trong trường hợp không có một phương pháp sắp xếp cụ thể nào phù hợp, giải thuật dò tìm và liệt kê có thể được sử dụng. Ví dụ, khi sắp xếp một bộ thẻ bài không theo thứ tự cụ thể, ta có thể so sánh mỗi cặp thẻ và di chuyển chúng cho đến khi chúng được sắp xếp đúng.
Tìm kiếm: Trong tìm kiếm, giải thuật này có thể được sử dụng để tìm kiếm một từ trong một văn bản. Giải thuật sẽ duyệt qua từng ký tự của văn bản và so sánh chúng với từ cần tìm. Nếu các ký tự khớp nhau, giải thuật sẽ trả về vị trí của từ đó trong văn bản.

9. Giải thuật chia để trị và đệ quy

Giải thuật chia để trị là gì?
Giải thuật chia để trị là một phương pháp giải quyết vấn đề bằng cách chia nhỏ vấn đề lớn thành các vấn đề con nhỏ hơn, giải quyết từng vấn đề con đó, sau đó kết hợp các giải pháp con để tạo ra giải pháp cho vấn đề ban đầu.

Đệ quy là gì?
Đệ quy là một khái niệm trong lập trình mà một hàm có thể gọi chính nó trong quá trình thực thi của nó. Kỹ thuật này thường được sử dụng để giải quyết các vấn đề mà có thể được chia thành các bài toán con nhỏ hơn.

Cách hoạt động của đệ quy
Một hàm đệ quy thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Kiểm tra điều kiện dừng. Nếu điều kiện dừng được đạt đến, hàm sẽ trả về một giá trị cố định.
Bước 2: Nếu không, hàm sẽ gọi chính nó với một hoặc nhiều tham số khác, thường là giảm dần kích thước của bài toán ban đầu.
Bước 3: Quá trình lặp lại cho đến khi điều kiện dừng được đạt đến.

Ứng dụng của giải thuật chia để trị trong tìm kiếm/sắp xếp

Tìm kiếm: Trong tìm kiếm, giải thuật chia để trị thường được áp dụng trong các thuật toán tìm kiếm như tìm kiếm nhị phân. Thuật toán chia mảng hoặc dãy thành các phần nhỏ hơn và kiểm tra phần giữa để xác định xem phần tử cần tìm có ở bên trái hoặc bên phải của phần giữa. Quá trình này được lặp lại cho đến khi tìm thấy phần tử hoặc kích thước của mảng giảm xuống không còn.

Sắp xếp: Trong sắp xếp, giải thuật chia để trị thường được sử dụng để sắp xếp các phần tử. Thuật toán sẽ chia mảng thành các phần nhỏ hơn, sắp xếp từng phần đó, sau đó kết hợp các phần đã sắp xếp thành một mảng lớn đã được sắp xếp.

Ưu điểm và nhược điểm của giải thuật chia để trị và đệ quy
Ưu điểm:
Giải thuật chia để trị thường dễ hiểu và triển khai.
Có thể giải quyết nhiều vấn đề phức tạp một cách hiệu quả.
Đặc biệt hiệu quả đối với các vấn đề có cấu trúc đệ quy tự nhiên.
Nhược điểm:
Có thể dễ dàng trở thành đệ quy vô hạn nếu không có điều kiện dừng phù hợp.
Hiệu suất của giải thuật có thể bị ảnh hưởng nếu kích thước của các phần con không được cân đối.
Có thể đòi hỏi nhiều bộ nhớ khi số lượng lớn các cuộc gọi đệ quy được thực hiện.

Ví dụ về ứng dụng trong tìm kiếm và sắp xếp
Tìm kiếm: Trong tìm kiếm nhị phân, mảng được chia thành các phần nhỏ hơn để tìm kiếm phần tử mong muốn. Thuật toán sẽ tiếp tục chia mảng và tìm kiếm cho đến khi tìm thấy phần tử hoặc không còn phần tử nào để kiểm tra.
Sắp xếp: Trong sắp xếp quicksort, mảng được chia thành các phần nhỏ hơn dựa trên một phần tử chọn làm pivot. Các phần tử nhỏ hơn pivot được di chuyển sang bên trái của pivot, trong khi các phần tử lớn hơn được di chuyển sang bên phải của pivot. Quá trình này được lặp lại cho đến khi tất cả các phần tử được sắp xếp.

10. Khái niệm về Độ phức tạp và Hiệu suất của giải thuật và cách lựa chọn thuật toán hiệu quả

Độ phức tạp của giải thuật là gì?
Độ phức tạp của một giải thuật là đo lường sự tăng tốc độ thực thi của giải thuật theo tăng kích thước của dữ liệu đầu vào. Nó thường được phân thành hai loại: độ phức tạp thời gian và độ phức tạp không gian.

Độ phức tạp thời gian
Độ phức tạp thời gian là thời gian mà một giải thuật mất để thực hiện một công việc, thường được đo bằng số lần lặp lại hoặc số bước thực hiện tùy thuộc vào kích thước của dữ liệu đầu vào.

Độ phức tạp không gian
Độ phức tạp không gian là lượng bộ nhớ mà một giải thuật tiêu tốn để thực hiện một công việc, thường được đo bằng số lượng biến, mảng, hoặc bộ nhớ bổ sung cần thiết tùy thuộc vào kích thước của dữ liệu đầu vào.

Hiệu suất của giải thuật
Hiệu suất của giải thuật liên quan đến việc làm thế nào một giải thuật hoạt động trong các tình huống thực tế, bao gồm cả độ phức tạp thời gian và không gian.

Cách lựa chọn thuật toán hiệu quả
Hiểu rõ yêu cầu của vấn đề: Đầu tiên, cần phải hiểu rõ yêu cầu cụ thể của vấn đề để chọn được giải thuật phù hợp.
Phân tích độ phức tạp: Phân tích độ phức tạp thời gian và không gian của các giải thuật để đảm bảo chọn giải thuật có hiệu suất tốt nhất cho bài toán.
Thử nghiệm và đánh giá: Thực hiện thử nghiệm và đánh giá hiệu suất của các giải thuật trên các tập dữ liệu mẫu để đảm bảo lựa chọn đúng giải thuật.
Xem xét các yếu tố khác: Ngoài độ phức tạp, cần xem xét các yếu tố khác như tính khả dụng, tính duy trì, và yêu cầu về bộ nhớ khi lựa chọn giải thuật.

Ví dụ về lựa chọn thuật toán hiệu quả
Ví dụ 1: Tìm kiếm trong mảng:
Nếu mảng đã được sắp xếp và cần tìm kiếm một phần tử, thuật toán tìm kiếm nhị phân sẽ hiệu quả hơn so với tìm kiếm tuyến tính.
Ví dụ 2: Sắp xếp mảng:
Đối với một mảng lớn, quicksort có thể được ưu tiên vì nó có độ phức tạp thời gian trung bình tốt hơn so với mergesort hoặc insertion sort.